Vereinfachen: x² + 2x - 15 = 0

Vereinfachen: Die quadratische Gleichung x² + 2x - 15 = 0 leicht erklärt

Das Lösen quadratischer Gleichungen kann manchmal kompliziert wirken – doch mit der richtigen Methode lässt sich sogar die Gleichung x² + 2x - 15 = 0 spielend einfach vereinfachen und lösen. In diesem Artikel zeigen wir Schritt für Schritt, wie Sie die Gleichung x² + 2x - 15 = 0 vereinfachen und lösen – einfach verständlich, praxisnah und ideal für Schüler, Studenten oder alle, die sich in Mathematik sicherer fühlen möchten.

Understanding the Context

Was bedeutet „Vereinfachen“ bei der quadratischen Gleichung x² + 2x - 15 = 0?

Das Vereinfachen bedeutet hier, die Gleichung so umzuformen, dass sie direkt und effizient gelöst werden kann – entweder durch Umformung, Faktorisierung oder die Anwendung der Mitternachtsformel. Ziel ist eine klare, Schritt-für-Schritt-Lösung ohne komplizierte Zwischenschritte.

Schritt 1: Gleichung überprüfen

Unsere Gleichung lautet:
x² + 2x - 15 = 0

Key Insights

Diese Gleichung ist eine Standardform:
ax² + bx + c = 0
mit

a = 1
b = 2
c = -15

Schritt 2: Faktorisierung – So vereinfachen Sie die Gleichung

Die Gleichung x² + 2x - 15 = 0 lässt sich gut faktorisieren, weil wir zwei Zahlen suchen, die multipliziert -15 ergeben und addiert 2 ergeben. Diese Zahlen sind 5 und -3, denn:

5 × (-3) = -15
5 + (-3) = 2

Deshalb können wir die Gleichung so umschreiben:
(x + 5)(x - 3) = 0

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Final Thoughts

Diese Faktorisierung hat die Gleichung deutlich vereinfacht.

Schritt 3: Lösung durch Nullproduktregel

Weil das Produkt zweier Faktoren null ergibt, muss mindestens einer gleich null sein:
x + 5 = 0 OR x - 3 = 0

Lösen wir beide Gleichungen:

x + 5 = 0 → x = -5
x - 3 = 0 → x = 3

Lösung der Gleichung x² + 2x - 15 = 0 lautet also: x = -5 oder x = 3

Alternative: Mitternachtsformel – auch zur Überprüfung

Falls die Faktorisierung nicht auf den ersten Blick klappt, hilft die Mitternachtsformel:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Mit a=1, b=2, c=-15:

Diskriminante: b² - 4ac = 2² - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64
√64 = 8